ויעילות מוצרים ציבוריים פרופסור שמואל ניצן הוצאת העדפה ובחירה חברתית", בספר: " על פרק טט' ברובו מבוסס חומר זהה *.2007 האוניברסיטה הפתוחה, הפתוחה) הזכויות שמורות לאונילאוניברסיטה (כל הקדמה: נושאי הדיון א. מהו מוצר ציבורי? ב. מהו התנאי לקיום יעילות בהקצאת המשאבים כאשר קיים מוצר ציבורי טהור? ג. האם הבחירה החברתית יעילה? ד. האם הקצאת המשאבים יעילה כאשר המימון שוויוני? ד. בחירות בדמוקרטיה ישירה על פי כלל רוב פשוט ד. 2 כלל הדיקטאטור ד. 3 כלל אחידות הדעים, המנגנון של לינדהל והביקורת עליו * (תנאי סמואלסון) ה. האם הקצאת המשאבים יעילה כאשר המוצר הציבורי מסופק על ידי מנגנון ביזורי דמוי שוק (בצורה פרטית וולונטארית)? בשיתוף עם דד"ר רונן בראל נכתב ב' ו-דד. 3 הכלול בסעיבסעיפים החומר *
א. מהו מוצר ציבורי? "מוצר ציבור טהור מאופיין על ידי שתי תכונות: ראשית, צריכתו על-ידי אחד הפרטים אינה מונעת מן הפרטים האחרים לצרוך אותו - אי קיום מניעה בצריכה (o-excludablty) ושנית, כמות הצריכה ממוצר זה על ידי כל הפרטים היא זהה אי קיום יריבות בצריכה.(o-rvaless) קשה למצוא דוגמאות למוצר ציבורי טהור. הדוגמא המקובלת למוצר כזה היא ביטחון לאומי מכיוון שכל תושבי המדינה צורכים בו זמנית את אותה רמת ביטחון שמייצרים כוחות הביטחון. מוצר פרטי מאופיין על ידי קיום מניעה ויריבות בצריכה. שירותי חינוך, גנים ציבוריים, מוזיאונים, תשתית תחבורה, שידורי רדיו וטלוויזיה, מגדלור או בטחון מקומי הם דוגמאות למוצרים ציבוריים (לא טהורים). משעה שמוצרים אלה סופקו, לא ניתן למנוע, לפחות במידה מסוימת, את הצריכה של לפחות חלק מהכמות המסופקת על ידי הצרכנים הקיימים בכלכלה. מקרים פרטיים של מוצרים פרטיים לא טהורים הם מוצר מועדון good) (club ומוצר משותף.(coos good) 2
הנחות וסימונים קיימים במשק שני מוצרים, מוצר פרטי X ומוצר ציבורי טהור. נסמן ב- את כמות המוצר הציבורי וב- x את כמות המוצר הפרטי. עקומת התמורה של המשק נתונה על-ידי המשוואה: F( x, ) = 0 () - מספר הפרטים/הצרכנים. - כמות המוצר הפרטי שצורך פרט. x. כמות המוצר הציבורי שצורך פרט - - תועלת פרט. U ( x, ). =,..., הכנסת (כמות המוצר הפרטי העומדת לרשותו), פרט - M נניח שהעדפות הצרכנים מקיימות את האקסיומות של תורת הצרכן, ובפרט את אקסיומת הקמירות החזקה. נתמקד לפיכך במקרה שבו קיים פתרון פנימי יחיד לבעיית הצרכן. 3
ב. התנאי לקיום יעילות בהקצאת המשאבים כאשר קיים מוצר ציבורי טהור (תנאי סמואלסון) לצורך הצגה פשוטה של תנאי היעילות של הקצאת המשאבים, נניח כי בכלכלה קיימים שני צרכנים, צרכן וצרכן 2. את ההקצאה היעילה נאפיין על-ידי פיתרון הבעיה הבאה: x, x2, ( ) + ( ) ax u x, u x, 2 2 ( ) st.. F x + x, = 0 2 () כאשר. x + x 2 = x 4
תנאי סמואלסון (המשך) נציב את פונקצית הלגרנג' הקשורה לבעיה (): (,,, ) = (, ) + 2 (, ) + ( +, ) L x x2 λ u x u x2 λ F x x2 (2) תנאי סדר ראשון של פתרון פנימי של הבעיה: () F( ) L u = λ = 0 x x x () F( ) 2 L u = λ = 0 x x x 2 2, x = x+ x2 (3) (4) () ( ) () 2 u u F L = + λ = 0 () L = F( x, + x2 ) = λ 0 (5) (6) ממשוואות (3) ו (4) ניתן להסיק כי () () () 2 u u F = = λ x x x 2 (7) נשתמש בתוצאה זו במשוואה (5) ונקבל כי באופטימום מתקיים השוויון: () () () 2 u u F () 2 u u x x 2 () + = F () x (8) 5
תנאי סמואלסון (המשך) כלומר MRS + MRS = RPT (9) 2 x, x, 2 X, תנאי האופטימום שקיבלנו, המאפיין הקצאה יעילה ) ( x, x2, נקרא תנאי סמואלסון (על-שמו של פול סמואלסון חתן פרס נובל לכלכלה לשנת 970). המשמעות של תנאי זה היא שהשוויון בין סכום שיעורי התחלופה הסובייקטיביים של הפרטים בצריכה ובין שיעור התחלופה בייצור הוא תנאי הכרחי ליעילות של הקצאת המשאבים, דהיינו, לאספקה היעילה של המוצר הציבורי. תנאי זה הוא גם תנאי מספיק כאשר העדפות הצרכנים מקיימות קמירות חזקה ומונוטוניות חזקה. 6
תנאי סמואלסון (המשך) באופן כללי, כאשר קיימים צרכנים, התנאי ליעילות הכמות המסופקת של מוצר ציבורי טהור הוא שבכמויות המסופקות מן המוצר הפרטי והציבורי קיים שוויון בין העלות השולית החברתית של המוצר הציבורי, עלות במונחי המוצר הפרטי, לסכום שיעורי התחלופה הסוביקטיביים של כל הצרכנים בין המוצר הציבורי והמוצר הפרטי, = MRS ( *, x * ) = RPT ( *, x * ) x, X, () 7
תנאי סמואלסון (המשך) כאשר המוצר הפרטי הוא נייטראלי, המשמעות של תנאי סמואלסון להקצאה יעילה היא שוויון בין סכום התועלות השוליות של הפרטים מן המוצר הציבורי ומחירו הריאלי של המוצר הציבורי. אפשר לנסח זאת גם כך: חיתוך בין עקומת הביקוש של השוק המתקבלת מהסיכום האנכי של עקומות הביקוש של הצרכנים ועקומת ההיצע של המוצר הציבורי. באיור מתוארת עקומת ביקוש מצרפית זו והכמות היעילה o בהקצאה היעילה בהנחה שהמחיר (מחיר השיווי משקל) של המוצר הציבורי הוא המתקבלת. * p p () u ( ) 2 u + = P 0 0 = = u u 2 () 0 = () 0 = * u 2 u u + 2 u 0 איור 8
תנאי סמואלסון (המשך) כאשר העדפות הצרכן מיוצגות על ידי פונקצית תועלת קוואזי ליניארית (המוצר x נייטראלי), התועלת השולית מהמצרך האחר שווה ל- ומחירו גם כן שווה ל-, כל צרכן משווה את התועלת השולית מן המצרך למחירו ועל-כן מתקיים לכל צרכן, u x = p x x 0 ו- באיור הבא מתוארות עקומות הביקוש של שני הצרכנים ו- 2, והכמויות המבוקשות על ידם בשיווי משקל,. x עקומת הביקוש של השוק למוצר 0 2, x ) x, )D p היא סיכום אופקי של עקומות הביקוש של.. הצרכנים והיא חותכת את עקומת ההיצע של המוצר הפרטי במחיר השיווי משקל p * X p x * p x D( p x ) u u 2 x x 2 x x x + x = x 2 0 2 x איור 2 9
ג. האם הבחירה החברתית יעילה? אין סיבה לצפות לכך שהשוויון המבטיח יעילות (תנאי סמואלסון) יתקיים, כאשר ההחלטה הקולקטיבית על כמות המוצר הציבורי מתקבלת בעזרת אחד מכללי הבחירה החברתית המקובלים. הסיבה היסודית לכך היא שההעדפות, וממילא ההחלטות, של כל פרט המשתתף בהכרעה החברתית, תלויות בדרך כלל רק בחלקן במימון עלות ההספקה של המוצר הציבורי ובשיעור התחלופה האישי שלו בין שני המוצרים. כלל הבחירה החברתית נותן ביטוי להחלטות הפרטים, אך יתכן שהוא נותן ביטוי רק להחלטות של מקצת הפרטים. גם אם הכלל נותן ביטוי להחלטות של כל הפרטים, אין כל סיבה לצפות לכך שתוצאתו, דהיינו, כמות המוצר הציבורי עליה מחליטים הפרטים, תקיים את התנאי ההכרחי ליעילות. במילים אחרות, אין כל סיבה לצפות ליעילות של הקצאת המשאבים, מאחר שההחלטות של הפרטים מבוססות על התמריצים האישיים שלהם ולא על האינטרס החברתי המצרפי ומאחר שכלל הבחירה אמנם נותן ביטוי לתמריצים האישיים, אך אין כל ערובה לכך שהוא יצליח לתת לתמריצים אלה ביטוי המבטיח את קיום תנאי סמואלסון. להפך, בדרך כלל כללי הבחירה החברתית לא מצליחים להבטיח את קיום התנאי ההכרחי ליעילות. נבהיר את הטענה בהנחה שכלל הבחירה החברתית הוא כלל הרוב הפשוט, כלל הדיקטטור וכלל אחידות הדעים. 0
סיכום הגדרנו מהו מוצר ציבורי והבחנו בין סוגים שונים של מוצר זה. התמקדנו בשאלה מהו התנאי ליעילות הקצאת המשאבים כאשר קיים מוצר ציבורי טהור. תנאי סמואלסון הצגה אלגברית, גיאומטרית וכלכלית. השאלה : 2 האם הבחירה החברתית יעילה? התשובה: בדרך כלל שלילית. מדוע? א. החלטות הפרטים תלויות רק בחלקן במימון עלות ההספקה של המוצר הציבורי ובשיעור התחלופה האישי שלו בין שני המוצרים. ב. לעיתים קרובות כלל הבחירה החברתית נותן ביטוי רק להחלטות של מקצת הפרטים. ג. ההחלטות של הפרטים (ויתכן של כולם) מבוססות על התמריצים האישיים שלהם ולא על האינטרס החברתי המצרפי.
ד. האם הקצאת המשאבים בדמוקרטיה ישירה יעילה כאשר המימון שוויוני? ד. בחירות על פי רוב פשוט נניח, לשם פישוט הדיון, שהעלות השולית של המוצר הציבורי במונחים של המוצר הפרטי קבועה ושווה ל-, וכי המימון של המוצר הציבורי מתחלק בצורה שווה בין הצרכנים. כלומר, מבחינתו של כל צרכן, עלות יחידה אחת של המוצר הציבורי שווה ל- / ועלות אספקתה של הכמות שווה אפוא ל-. / בגלל ההנחות שעשינו, לכל צרכן יש כמות מועדפת יחידה של המוצר הציבורי. נסמן ב- את הכמות הרצויה מבחינתו של צרכן. תועלת הצרכן מסל הכולל כמות מהמוצר הציבורי, שווה אפוא ל-. U, M 2
בחירות על פי רוב פשוט (המשך) *,(, x ) מגבלת התקציב של צרכן טיפוסי, הסל האופטימלי מבחינתו ועקומת האדישות של סל זה * ), )I, x מתוארים בחלק העליון של איור 3. בחלק התחתון של האיור מתוארת תועלת הצרכן המתאימה לכמויות שונות של המוצר הציבורי, בהנחה שסל המצרכים של הצרכן מקיים את משוואת התקציב. x + = M שיאית. מקמירות יחס ההעדפה של הצרכן נובע שהעקומה המתארת את תועלת הצרכן היא חד- איור 3 3
בחירות על פי רוב פשוט (המשך) בחלק העליון של איור 4 מתוארים קווי התקציב, הסלים האופטימליים ועקומות האדישות של הסלים האופטימאליים של שלושה צרכנים. בחלקו התחתון של האיור מתוארות התועלות החד-שיאיות של הצרכנים. איור 4 4
בחירות על פי רוב פשוט (המשך) מאחר וכלל הבחירה החברתית קובע את הכמות המסופקת של המוצר הציבורי, קבוצת האפשרויות היא חד- ממדית. נניח שכמות המוצר הציבורי היא אפשרית מבחינת כל הצרכנים. כלומר, לכל צרכן מתקיים. 0 האי-שוויון M { 2 } : 0 (,,..., ) מכאן שקבוצת האפשרויות X היא. X = = M M M על הציר האופקי באיור 4 קבוצה זו מיוצגת אפוא על-ידי הקטע. 0, = [ 0,3M ] בהינתן העדפות הצרכנים, כלל הבחירה החברתית קובע אפוא כמות מסוימת של המוצר הציבורי שהיא אפשרית מבחינתו של כל צרכן. 5
בחירות על פי רוב פשוט (המשך) מהי הכמות של המוצר הציבורי כאשר ההחלטה החברתית מתקבלת על-ידי כלל הרוב הפשוט? במקרה של כלל הרוב הפשוט נבחרת האפשרות שהיא הזוכה על פי קונדורסה, דהיינו האפשרות שמועדפת על-ידי רוב פשוט בהשוואה לכל אפשרות אחרת. 2 כאשר קיימים שלושה צרכנים והעדפותיהם זהות לאלה המתוארות באיור 4, האפשרות היא הכמות ו- הנבחרת (אפשרות זו זוכה לרוב של שני פרטים בהתמודדות מול כל אפשרות אחרת, ובפרט האפשרויות 3. באופן כללי, על פי משפט הבוחר החציוני theore),(eda voter אותו נבהיר מיד, מכיוון שהעדפות הבוחרים הן 2.,,..., חד-שיאיות, הכמות הנבחרת היא החציון של התפלגות הכמויות המועדפות ביותר, 6
בחירות על פי רוב פשוט (המשך) על פי הנחה, מרחב האפשרויות הוא חד ממדי וכמות המוצר הציבורי המועדפת ביותר מבחינתו של פרט היא, כלומר: = argax v ( :, M) = U, M העדפותיו של פרט ביחס למוצר הציבורי הן חד-שיאיות אם מתקיים: '' v ( ) v ( ) ' ( '' ' או '' ' ) משפט הבוחר החציוני theore) (eda voter אם ההעדפות של כל הפרטים ביחס למוצר הציבורי הן חד-שיאיות, אזי קיימת כמות של המוצר הציבורי שהיא זוכה על פי קונדורסה. כמות זו היא, 3 הכמות המועדפת ביותר מבחינתו של הפרט החציוני. הוכחה. מאחר שהעדפות הפרטים הן '' < נניח שנערכת השוואה בין הכמות לכמות אחרת '' כך ש- חד-שיאיות על פי ההגדרה, כל פרט שהכמות המועדפת ביותר מבחינתו,, מקיימת את האי-שוויון. רוב הפרטים תומכים אפוא בכמות. על, מעדיף את '' ולכן הוא תומך ב- זוכה ברוב באופן דומה ניתן להראות שרוב הפרטים תומכים ב-, כאשר. מכאן שהכמות '' > פשוט מול כל כמות אפשרית אחרת, כלומר היא הזוכה היחידה על פי קונדורסה. 7
בחירות על פי רוב פשוט (המשך) שאלה: מדוע כלל רוב פשוט איננו יציב כאשר לא מתקיימת הנחת החד-שיאיות. Total valuato of the publc good תשובה: נתבונן בדוגמה הבאה. VOTER 3 VOTER VOTER 2 X Y Z Quatty of the publc good בוחר X Y Z בוחר 2 Y Z X בוחר 3 Z X Y במקרה זה העדפות הפרטים אינן חד שיאיות וכלל לא קיימת הכרעה חברתית: ניתן לראות כי שניים מתוך שלושת הפרטים מעדיפים את X על Y, שניים מעדיפים את Y על Z, אולם שניים מעדיפים את Z על X, כלומר נוצרת מעגליות שכלל איננה מאפשרת הכרעה חברתית. 8
בחירות על פי רוב פשוט (המשך) האם בחירות על פי רוב פשוט מובילות להקצאה יעילה? 2 ללא הגבלת הכלליות, נניח כי...., וכמות זו זוכה על פי קונדורסה. = + אם הוא אי-זוגי, חציון ההתפלגות הוא הכמות 2 הפרט מכונה הבוחר החציוני. נשאלת השאלה האם הכמות היא יעילה? במלים אחרות, האם ההקצאה 2 ((, M ),(, M ),...,(, M )) היא יעילה? 9
בחירות על פי רוב פשוט (המשך), < M מכיוון ש- היא הכמות האופטימלית מבחינתו של הבוחר החציוני פרט, ואנו מניחים כי מתקיים התנאי ההכרחי לשיווי משקל של הצרכן החציוני, שהוא שוויון בין שיעור התחלופה השולי הסובייקטיבי של פרט בין המוצר הציבורי והמוצר הפרטי, לבין היחס שבין מחיריהם: MRS, M = (2) לעומת זאת, התנאי המאפיין כמות יעילה של המוצר הציבורי <, e, הוא השוויון בין סכום שיעורי e התחלופה השוליים הסובייקטיביים של כל הפרטים לשיעור התחלופה בייצור בין המוצר הציבורי והמוצר הפרטי: = e MRS(, M ) = e (3) 20
בחירות על פי רוב פשוט (המשך) e התנאים המאפיינים כמות יעילה וכמות אופטימלית מבחינתו של הבוחר החציוני הם שונים. מכאן שבדרך כלל ולא ניתן לקבוע איזו כמות גדולה יותר. הכמות מאופיינת על-ידי השוויון (2) ועל-ידי התכונה שמחצית הבוחרים מעדיפים כמות גדולה ממנה ומחצית הבוחרים מעדיפים כמות קטנה ממנה. MRS, M = (2) תנאי זה מתעלם משאלות כגון בכמה גדולות או בכמה קטנות הכמויות המועדפות על-ידי הבוחרים השונים מהבוחר החציוני מ-, או "באיזו מידה" הם מעדיפים את אותן כמויות השונות מ-. התעלמות ממידע זה, מידע הנלקח בחשבון בשוויון (3) המאפיין את, e היא המסבירה את השוני שבין e ל-. = e MRS(, M ) = e (3) שים לב, התנאים (2) ו-( 3 ) מתקיימים באותה כמות ( של המוצר הציבורי רק אם e = ) MRS(, M ) = MRS(, M ) = מסקנה: רק אם שיעור התחלופה השולי הסובייקטיבי של הבוחר החציוני, בסל המצרכים האופטימלי מבחינתו, שווה לשיעור התחלופה הסובייקטיבי הממוצע של הצרכנים/הבוחרים, נקבל שכמות המוצר הציבורי הנבחרת על-ידי כלל הרוב הפשוט היא יעילה,. = e 2
בחירות על פי רוב פשוט (המשך) דוגמה נבהיר מהו היחס בין ו- e כאשר התועלת של פרט היא התועלת הקוואזי-לינארית: U(, x ) = b l + x,, MRS, M שיווי המשקל של בחירות על פי כלל רוב פשוט, b = = על פי תנאי (2), חייב לקיים את השוויון כאשר b הוא הפרמטר המאפיין את ההעדפות של הפרט החציוני. מכאן ש- = b, הכמות היעילה של המוצר הציבורי,, e חייבת לקיים = e MRS(, M ) = e על פי תנאי (3), את השוויון: b = = e מכאן ש- e = b = קיבלנו אפוא ש- b e = > > b במלים אחרות, הכמות היעילה של המוצר הציבורי גדולה מהכמות המתקבלת בשיווי משקל של כלל הרוב הפשוט, אם הממוצע של הפרמטרים b גדול מהפרמטר b המאפיין את העדפות הפרט החציוני. 22
שאלות הבהרה א. האם ההחלטה המשותפת בהכרח איננה יעילה? ב. האם כמות המוצר הציבורי בהכרח קטנה מהכמות היעילה? ג. האם להתפלגות ההכנסות אין כל השפעה על כמות המוצר הציבורי? ד. האם כמות המוצר הציבורי לא תלויה בצורת המימון שלו? 23
ד. האם הקצאת המשאבים יעילה כאשר המימון שוויוני? ד. 2 בחירה על פי כלל הדיקטאטור כאשר ההחלטה החברתית נקבעת על-ידי כלל הדיקטטור, דהיינו היא מופקדת בידי פרט מסוים d, הבחירה החברתית שונה בדרך כלל מהכמות היעילה. הסיבה לכך דומה לזו שהובהרה בעת הדיון ביעילות כלל הרוב הפשוט; התנאי המאפיין את הסל האופטימלי של דיקטטור שונה בדרך כלל מהתנאי ההכרחי ליעילות של כמות המוצר הציבורי. 24
ד. האם הקצאת המשאבים יעילה כאשר המימון שוויוני? ד. 3 כלל אחידות הדעים, המנגנון של לינדהל והביקורת עליו נניח שההחלטה החברתית נקבעת על-ידי כלל רוב מיוחס מאד, כלל אחידות הדעים rule),(uaty דהיינו נבחרת הכמות שכל הפרטים תומכים בבחירתה. במלים אחרות, נבחרת הכמות שהיא אופטימלית מנקודת ראותו של כל פרט. כמובן שכמות זו היא זוכה על פי קונדורסה, ולאמיתו של דבר היא מנצחת בכל רוב שהוא כל כמות אחרת. הבעיה המיידית הכרוכה בשימוש בכלל זה היא שלא קיימת בכלכלה כמות כזו כאשר מחירי המוצרים קבועים ואחידים ואילו הפרטים שונים (בטעמים ו/או בהכנסות) בפרט, לא קיימת כמות אופטימלית זהה כזאת, כאשר הפרטים שונים ומחיר המוצר הציבורי אחיד ושווה ל- /, כפי שהנחנו. לעומת זאת, כמות אופטימלית זהה כזאת קיימת כאשר הפרטים שונים והמחירים של המוצר הציבורי הם דיפרנציאליים. אם המחירים הדיפרנציאליים הם מחירי לינדהל או מיסי לינדהל (99,(Ldahl, אזי לא זו בלבד שקיימת כמות אשר נבחרת באחידות דעים, אלא שכמות זו היא יעילה. מהם אפוא מחירי לינדהל? 25
ד. 3 כלל לינדהל (המשך) p קביעת מחירי או מיסי לינדהל מבוססת על כך שכל פרט משלם מחיר השווה לשיעור התחלופה *, MRS הסובייקטיבי בין שלו המוצר הציבורי והמוצר הפרטי בכמות היעילה של המוצר הציבורי. p = * * MRS (, M p כלומר,(. M p * ובכמות המתאימה של המוצר הפרטי, שימו לב:. על פי הגדרה, מחירי לינדהל נקבעים כך שהם מקיימים את תנאי סמואלסון,.( MRS ( *, M p * ) = p = p = ).2 מחירי לינדהל מבטיחים אחידות דעים ביחס לכמות הרצויה היעילה של המוצר הציבורי *. 3. החסרון העיקרי והמעשי של מנגנון לינדהל הוא הקושי בהפעלתו. המנגנון מחייב מידע על התועלות של הצרכנים. מכיוון שלפרטים אין תמריץ לגלות את העדפותיהם, דהיינו את הערך האמיתי של המוצר הציבורי מבחינתם, אי אפשר לחשב את מחירי לינדהל. (לכל פרט יש תמריץ להפחית בהערכתו את המוצר הציבורי בהשוואה לערך האמיתי היות וכך הוא עשוי ליהנות כטרמפיסט מהמוצר הציבורי שימומן על ידי הצרכנים האחרים). 26
ד. 3 כלל לינדהל (המשך) x x דוגמה והצגה גראפית נניח כי המוצר הפרטי הוא ניטראלי וכי מגבלת המקורות של המשק נתונה על-ידי השוויון: 2 + 2 + = + (4) ממשוואה (4) ניתן ללמוד כי RPT X, = (5), p בהתאמה. (, (, ) ו- p ) 2 2 2 נסמן את הביקושים למוצר הציבורי ב- פתרון לינדהל מתואר באיור 5. 2 ( ) 2* p * p * () איור 5 הפתרון המוצג באיור 5 מראה שהסכום האנכי של עקומות ה"ביקוש" למוצר הציבורי של שני הפרטים שווה. 2* p * ל- בכמות *. מחירי לינדהל המתאימים הם p ו- 27
ד. 3 כלל לינדהל (המשך) שאלה:.=,2, u = x נניח כי ההעדפות של שני פרטים מיוצגות על ידי פונקצית התועלת מחירי לינדהל למקרה זה. חשבו את תשובה: מתנאי סדר ראשון של פתרון בעיית הצרכנים נקבל: =, =,2 2 p *, p ולכן נציב ונקבל כי: וכמו כן = p + 2 = * 2* p = p 2, p וממשוואה זו קל לחלץ את p =,,2 2 + = כלומר, במקרה זה מס לינדהל שווה לחלק היחסי של הכנסת הפרט מסך ההכנסות במשק. 28
סיכום נושא ד' המחשת כשל השוק במקרים הבאים (בהנחה של מימון שוויוני): ד.. דמוקרטיה ישירה כלל רוב פשוט שיווי משקל מנצח קונדורסה משפט הבוחר החציוני חד-שיאיות הפרט החציוני מסקנות הניתוח: e א. ב. = e רק אם שיעור התחלופה השולי הסובייקטיבי של הבוחר החציוני, בסל המצרכים האופטימלי מבחינתו, שווה לשיעור התחלופה הסובייקטיבי הממוצע של הצרכנים/הבוחרים. ד. 2. כלל הדיקטאטור ד. 3. כלל אחידות הדעים המנגנון של לינדהל וחסרונו 29
ה. האם הקצאת המשאבים יעילה כאשר המוצר הציבורי מסופק על ידי מנגנון דמוי שוק (בצורה פרטית וולונטארית)? למה "דמוי שוק" ולא שוק תחרותי רגיל? הצריכה המשותפת של המוצר הציבורי הטהור על ידי כל הצרכנים מונעת אפשרות של מסחר רגיל המאופיין על ידי עסקאות של "מכירה מרצון" ו"קניה מרצון", שבהן נקבעים כמויות ומחירים למוצר. העובדה שלכל הצרכנים יש זכות קניין שווה על המוצר הציבורי איננה מאפשרת שימוש במנגנון שוק התחרותי. בהנחה של אינפורמציה מלאה, כל צרכן מודע לאופיו של המוצר הציבורי ולפיכך אמונתו ביחס לכמות הנצרכת על ידי הצרכנים האחרים תשפיע על הכמות שהוא צורך. מתעוררת אפוא השאלה מהן האמונות של כל צרכן ביחס לפעולות של הצרכנים האחרים. במלים אחרות, סביר שאופי החלטות הצרכנים הוא אסטרטגי. לפיכך, נראה שיש טעם בשימוש בתורת המשחקים. נדגים את הניתוח במקרה הפשוט ביותר שני צרכנים ואחר כך במקרה של צרכנים שהעדפותיהם מיוצגות על ידי פונקציות תועלת קוואזי ליניאריות. 30
אספקה וולונטארית של המוצר הציבורי ה. מקרה : נניח ששני פרטים הם המועמדים להשתתפות וולונטארית בהספקת מוצר ציבורי. פונקצית הייצור של המוצר הציבורי היא: 0 f( ) = δ = 0 = = 2 כאשר הוא מספר הפרטים המשתתפים בפועל בהספקת המוצר, כמו-כן נניח כי 2. בנוסף נניח כי. 0 < c < עלות ההשתתפות היא c, =,2,. 0 פונקצית התועלת של פרט.5 < δ < פונקצית הייצור מקיימת את חוק התפוקה השולית הפוחתת ולכן, היא: f( ) c h ( s, s2 ) = f( ) s s = = 0 s פירושו שפרט מחליט להשתתף בהספקת המוצר הציבורי. s פירושו שפרט מחליט לא להשתתף בהספקת המוצר הציבורי. = = 0. = s + s 2 שים לב, 3
ה. אספקה וולונטארית של המוצר הציבורי המקרה הדיכוטומי (המשך) f( ) c h ( s, s2 ) = f( ) s s = = 0 במקרה זה מטריצת התשלומים של המשחק היא: s = 2 0 s = 0 ( c), ( c) δ, ( δ c) ( δ c נחשב את שיווי-משקל Nash באסטרטגיות טהורות. קיימות שלוש אפשרויות.. ( c) δ > ( δ c) > 0 אפשרות : * * ( s, s2. שיווי משקל זה הוא שיווי משקל של במקרה זה קיים שיווי משקל Nash יחיד, (,) = ). ( c),( אסטרטגיות שולטות ותוצאת שיווי המשקל היא (c 32
ה. אספקה וולונטארית של המוצר הציבורי המקרה הדיכוטומי (המשך) s = 2 0 s = 0 ( c), ( c) δ, ( δ c) ( δ c.δ ( c) > 0 > ( δ c) אפשרות 2: * * ). שיווי משקל זה הוא שיווי משקל של s, s2 במקרה זה קיים שיווי משקל Nash יחיד, (0,0) = ) אסטרטגיות שולטות ותוצאת שיווי המשקל היא (0,0). במלים אחרות, במקרה זה קיימת דילמת האסיר בה נתקלנו ביחידה..δ ( c) > ( δ c) > 0 אפשרות 3: * * ). תוצאות שווי s, s2 ) = (0,) * * ( s, s2 ) = (,0) במקרה זה קיימים שני שוויי משקל,Nash ו-. ( δ c, δ ) המשקל הן c) ( δ, δ ו- y' y, x' x ( x', y' ) ( x, הגדרה:, תוצאה (y היא יעילה אם לא קיימת תוצאה אפשרית אחרת כך ש- ולפחות אחד מהאי שוויונות האלה הוא אי שוויון חזק. נשאלת השאלה, האם התוצאה של שיווי-משקל Nash היא בהכרח יעילה? התשובה היא שלילית. במקרה של אפשרות, 2 התוצאה של שיווי משקל Nash איננה יעילה. 33
לעומת זאת, אם עלות ההשתתפות נמוכה מהתפוקה השולית של הפרט הראשון,, c < δ תיתכן אפשרות 2 או אפשרות 3. בשני המקרים התוצאה של שווי משקל Nash היא יעילה. אספקה וולונטארית של המוצר הציבורי ה. 2 מקרה 2: נבחן עתה מהי כמות המוצר הציבורי כאשר ההחלטה החברתית מתקבלת בצורה ביזורית, וכל פרט מחליט באופן וולונטרי על סל המצרכים שבו הוא מעוניין, הסל ) x ( g,, בהינתן הכנסתו, M המחירים p ו-, ופונקציית התועלת שלו (, ).U x p X שים לב, פרט בוחר לרכוש באופן פרטי כמות g של המוצר הציבורי, אך כמות המוצר הציבורי שהוא צורך, שהיא סך כמות המוצר הציבורי המסופקת על-ידי כל הצרכנים, תלויה גם בכמויות שבוחרים לספק. = g = הצרכנים הנותרים. מאחר שהמוצר הציבורי הוא טהור,, p וכי פונקציות התועלת של הצרכנים הן קואזי- נניח לשם פשטות כי מחירי שיווי המשקל הם = p = לינאריות, דהיינו X, U (, x ) = f ( ) + x. f ''( ) < 0 כאשר > 0 ) f ' ( ו- 34
ה. 2 אספקה וולונטארית של המוצר הציבורי (המשך) *g. כמות זו בהינתן מחירי שיווי המשקל (התחרותי) של שני המוצרים, צרכן בוחר בכמות האופטימלית מתקבלת מפתרון הבעיה: Max f ( * g + gk) + ( M g) g 0 k במשחק שבו השחקנים הם (Nash) הן שיווי משקל נאש ( *g * שים לב שעל פי הגדרה, הכמויות ),..., g הצרכנים, מרחב האסטרטגיות של צרכן הוא הקבוצה { :0 }, S = g g M. U g g f g g M g ( *,..., ) = ( + k) + ( ) k ופונקצית התשלום של צרכן היא Kuh- חייב אפוא לקיים את התנאי ההכרחי והמספיק לפתרון הבעיה שלמעלה (תנאים אלה הם תנאי * g Tucker לפתרון בעיית הצרכן ): ' * * k k f ( g + g ) (6) ' * * * k k ( f ( g + g ) = ) g > 0 ו- (7) 35
ה. 2 אספקה וולונטארית של המוצר הציבורי (המשך) תנאי :Kuh-Tucker ' * * k k f ( g + g ) (6) ' * * * k k ( f ( g + g ) = ) g > 0 ו- (7), מתקיים אפוא התנאי שלכל פרט, ( *g * בשיווי משקל נאש, ),..., g ' * f ( ) (8) ' * * g f ( ) = > 0 ו- (9) e >, מתקיים: 0 מכאן, כאשר > ו- * ' * MRS M g f = = ( *, ) = ( ) > (20) פירוש הדבר שלא מתקיים התנאי ההכרחי ליעילות הכמות המסופקת של המוצר הציבורי (תנאי סמואלסון).. * e יתר על כן, קיימת אספקת חסר של המוצר הציבורי, מכיוון ש- < 36
ה. 2 אספקה וולונטארית של המוצר הציבורי (המשך) באיור הכמות היעילה של המוצר הציבורי,, e מתקבלת בנקודת החיתוך של העקומה המתארת את סכום שיעורי התחלופה הסובייקטיביים של הפרטים עם הישר האופקי המתאר את מחיר המוצר הציבורי. כמות שיווי המשקל * מתקבלת בנקודה שבה סכום שיעורי התחלופה הסובייקטיביים של הפרטים גדול מעלות האספקה השולית של המוצר הציבורי. מקובל לקרוא לבעיית חוסר היעילות בשם בעיית הטרמפיסט. 37
אספקה וולונטארית של המוצר הציבורי - סיכום הצגנו את בעיית חוסר יעילות האספקה הפרטית של המוצר הציבורי, בהנחות מסוימות ופשוטות על אודות מספר המוצרים הפרטיים, מחירי המוצרים, האסטרטגיות של הפרטים ופונקציות התועלת שלהם, ותוך התעלמות מהטכנולוגיה (פונקציית הייצור) של המוצר הציבורי. נוכחנו לדעת במקרה הראשון שהצגנו (המקרה הדיכוטומי) כי בעיית הטרמפיסט חמורה יותר כאשר עלות אספקת המוצר הציבורי גדלה. נסיים את הדיון בהצגת שתי שאלות המבהירות מדוע בעיית הטרמפיסט חמורה יותר כאשר א. קיימת שונוּת בתועלות השוליות של הפרטים. ב. מספר הפרטים (השחקנים) גדל. ג. גדלה החשיבות היחסית של המוצר הפרטי בפונקציות התועלת של הפרטים. 38
כיצד משפיעה שונוּת בתועלות השוליות של הפרטים על חומרת בעיית הטרמפיסט? שאלה חווה דעתך על הטענה הבאה: "במסגרת המודל של אספקה וולונטרית (פרטית) של המוצר הציבורי שהוצג להלן, אם קיימת שונות ברורה בין התועלות השוליות של הפרטים מהמוצר הציבורי כך שלכל כמות 0,, f f f ובשיווי-משקל > 0, אזי בעיית הטרמפיסט חמורה במיוחד; פרט אחד מספק את ' ' ' < 2 <... < המוצר הציבורי וכל הפרטים האחרים הם "טרמפיסטים". 39
כיצד משפיעה שונוּת בתועלות השוליות של הפרטים על חומרת בעיית הטרמפיסט? תשובה, f f f ' ' ' < 2 <... <, 0 הטענה נכונה. כאשר לכל כמות התנאי המאפיין שיווי משקל נאש, * g* (, הוא:,..., g ) ' * f ( ) ' * * g f ( ) = > 0 ו- תנאי זה יכול להתקיים רק כך:, g * = 0,, השוויון מתקיים עבור פרט, ולכל פרט והאי-שוויון מתקיים כאי-שוויון חזק, < ). f ( פירוש הדבר שרק פרט אחד, הפרט בעל התועלת השולית הגבוהה ביותר מהמוצר הציבורי, ' * מספק את המוצר הציבורי, וכל הפרטים האחרים הם "טרמפיסטים". באיור שלפניך, הכמות היעילה, e מתקבלת בנקודת החיתוך של העקומה המתארת את סכום שיעורי התחלופה הסובייקטיביים של הפרטים עם הישר האופקי המתאר את מחיר המוצר הציבורי. כמות שיווי המשקל של המוצר הציבורי, *, מתקבלת בנקודת החיתוך של העקומה המתארת את שיעור התחלופה הסובייקטיבי של פרט עם הישר האופקי המתאר את מחיר המוצר הציבורי. 40
כיצד משפיעים גידול במספר הפרטים או בחשיבות היחסית של המוצר הפרטי על חומרת בעיית הטרמפיסט? שאלה: הנח שקיימים שני מצרכים, מצרך פרטי X ומצרך ציבורי טהור. מחיר שני המצרכים שווה ל-. הצרכנים במשק זהים בהכנסתם השווה ל- M ובהעדפותיהם. פונקצית התועלת המייצגת את יחס ההעדפה של צרכן היא. 0 < α, β < β, U (, x ) = x כאשר α א. ב. ג. ד. ה. מהי כמות המוצר הציבורי * בשיווי משקל נאש, וולונטרי את מידת השתתפותם במימון המוצר הציבורי? מהי הכמות היעילה e של המוצר הציבורי? מהי בעיית הטרמפיסט או דילמת האסיר במקרה זה? נגדיר את חומרת בעיית הטרמפיסט על-ידי היחס שבין בעיית הטרמפיסט למספר הפרטים. * *g ), במשחק שבו הפרטים קובעים באופן,..., g ) e ל- *. הוכח שקיים יחס ישיר בין חומרת הוכח שקיים יחס ישיר בין חומרת בעיית הטרמפיסט ל-.α β 4
בעיית הטרמפיסט א. מהי כמות המוצר הציבורי * בשיווי משקל נאש? תשובה בשיווי משקל נאש כל פרט בוחר ב-* g שהוא פתרון של הבעיה: Max U ( g * gk), M g) ( g gk) β α + = + ( M g) g 0 k k * g, מקיים את התנאי מסדר ראשון לפתרון הבעיה: > 0, g* * β * * * α α β α β ( M g ) ( ) ( M g ) = 0 * β * α * β * α α β( g ) ( M g ) ( g ) ( M g ) = 0 או: 42
* α ( ) * β g = g + M α + β α + β ומכאן נקבל כי: ולכן: g* = β M α + β בשיווי משקל, סך האספקה של המוצר הציבורי שווה אפוא ל- β = g = M α + β * * בעיית הטרמפיסט ב. מהי הכמות היעילה e של המוצר הציבורי? תשובה בכמות היעילה מתקיים התנאי: = MRS(, M ) = כלומר, α β α β β( M g ) α( M g ) = g β = M α + β ומכאן, 43
e β = M α + β ולכן, בעיית הטרמפיסט ג. מהי בעיית הטרמפיסט או דילמת האסיר במקרה זה? תשובה e β * β. = M > = M α + β α + β בעיית הטרמפיסט מתבטאת בכך ש- 44
כיצד משפיע גידול במספר הפרטים על חומרת בעיית הטרמפיסט? ד. הוכח שקיים יחס ישיר בין חומרת בעיית הטרמפיסט למספר הפרטים. תשובה e α + β =. יחס זה מונוטוני עולה ב-, כלומר קיים יחס ישיר בין חומרת בעיית הטרמפיסט למספר * α + β הפרטים. 45
כיצד משפיע גידול בחשיבות היחסית של המוצר הפרטי על חומרת בעיית הטרמפיסט? ה. הוכח שקיים יחס ישיר בין חומרת בעיית הטרמפיסט ל-.α β תשובה מונוטוני עולה ב- α, β כלומר קיים יחס ישיר בין חומרת בעיית הטרמפיסט ל- e α + β היחס = * α + β.α β 46